Выведем формулу (а+b)3 – сумма кубов:
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a3+a2b+
+a2b+ab2+a2b+b2a+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.
Сколько будет слагаемых, в которых два множителя а и один множитель b?
Получим формулу для возведения суммы чисел а и b в любую натуральную степень:
Формула называется биномом Ньютона, а числа вида – биноминальными коэффициентами.
Если в формуле бинома Ньютона поставить знак минус перед b, то минус появится в правой части формулы перед теми членами, где b в нечетной степени.
Для удобства применения формулы составим таблицу биноминальных коэффициентов – треугольник Паскаля.
Треугольник Паскаля - это
бесконечная таблица биноминальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов встречается в трудах индийского математика Х века.
Свойства:
- Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
- В строке с номером n:
- первое и последнее числа равны 1.
- второе и предпоследнее числа равны n.
- третье число равно треугольному числу
что также равно сумме номеров предшествующих строк.
- четвёртое число является тетраэдрическим.
- Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи:
- Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2п.
- Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом.
- Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
- Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.
Задания:
- Дополните треугольник Паскаля до 10 строчки.
- Раскройте скобки в выражениях: