Июль 2017
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31

 

Выведем формулу (а+b)3 – сумма кубов:

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a3+a2b+

+a2b+ab2+a2b+b2a+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3.

Сколько будет слагаемых, в которых два множителя а и один множитель b?

сочетания

Получим формулу для возведения суммы чисел а и b в любую натуральную степень:

формула

Формула называется биномом Ньютона, а числа вида   сочетание  – биноминальными коэффициентами.

Если в формуле бинома Ньютона поставить знак минус перед b, то минус появится в правой части формулы перед теми членами, где b в нечетной степени.

Для удобства применения формулы составим таблицу биноминальных коэффициентов – треугольник Паскаля.

треугольник Паскаля              треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля - это

бесконечная таблица биноминальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов встречается в трудах индийского математика Х века.

Свойства:

-  Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.

-  В строке с номером n:

  • первое и последнее числа равны 1.
  • второе и предпоследнее числа равны n.
  • третье число равно треугольному числу  формула

что также равно сумме номеров предшествующих строк.

  • четвёртое число является тетраэдрическим.

-  Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть nчисло Фибоначчи:

формула

-  Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2п.

-  Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом.

 -  Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.

-  Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Задания:

  1. Дополните треугольник Паскаля до 10 строчки.
  2. Раскройте скобки в выражениях:

задания

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Участник Общероссийского рейтинга школьных сайтов

Новости

Команда "Апельсинки"
03 июнь 2017 12:30

Поздравляем команду "Апельсинки", ставшую победителем олимпиады [ ... ]

Читать далее
Ломоносовские чтения
12 фев 2017 12:44

11 февраля в нашей гимназии состоялся XII открытый конкурс [ ... ]

Читать далее
Деловая игра
18 дек 2016 19:12

16 декабря 2016 сборные команды наших семи- и восьмиклассников [ ... ]

Читать далее