Задача 1.
Поэт Цветик все свои стихи пишет из 18 строк, а поэт Самоцветик – из 29. Однажды поэты решили выпустить совместный сборник стихов. Сколько в нем может быть стихов Цветика и сколько стихов Семицветика, если Цветик написал на одну строчку больше?
Решение. Пусть х стихов написал поэт Цветик, а у стихов написал поэт Самоцветик, тогда для решения данной задачи составим уравнение:
18х–29у=1.
Становится очевидным, что нам необходимо подобрать такие х и у, при умножении на которые данных нам чисел получатся произведения, отличающиеся на 1. Эти неизвестные множители легко было бы подобрать с помощью таблицы умножения, в которой были бы представлены числа большие 10, но она получилась бы слишком массивной, поэтому конкретно для этого уравнения создадим свою таблицу умножения 18 и 29:
|
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
18 |
36 |
54 |
72 |
90 |
108 |
126 |
144 |
162 |
180 |
198 |
216 |
234 |
252 |
270 |
288 |
306 |
324 |
342 |
360 |
378 |
|
29 |
58 |
87 |
116 |
145 |
174 |
203 |
232 |
261 |
290 |
319 |
348 |
377 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В ней нам нужно найти числа, отличающиеся на 1.
Например, 144=18∙8 и 145=29∙5, но, подставив эти значения в формулу, мы получим 18∙8-29∙5=-1, поскольку количество строк не может быть отрицательным, необходимо найти другие значения. Следующие подходящие нам числа это 378=18∙21 и 377=29∙13, подставим их в начальное уравнение. Получим:
18∙21-29∙13=1
Все сходится, а это значит, что Цветик написал 21 стих, а Самоцветик 13.
Основное достоинство данного метода решения – это его наглядность, решение сразу видно из составленной таблицы. А главным недостатком является то, что нередко таблицы получаются довольно громоздкими, и их составление отнимает много времени. Поэтому представим вашему вниманию еще один прием решения диофантовых уравнений.
Задача 2. В заколдованном пруду живут синие и красные осьминоги. У синих осьминогов по 7 ног, а у красных - по 11. Сколько в пруду красных и сколько синих осьминогов, если всех красных ног на одну меньше, чем синих?
Решение. Пусть х – количество синих осьминогов в пруду, а у – количество красных осьминогов. Составим уравнение:
7х-11у=1.
Представим 11у как сумму 7у+4у. Тогда уравнение будет уметь вид:
7х-7у-4у=1.
Вынесем в первых двух слагаемых общий множитель 7 за скобки:
7(х-у)-4у=1.
Теперь представим 7(х-у) в виде суммы 4(х-у)+3(х-у):
4(х-у)+3(х-у)-4у=1.
Вынесем общий множитель 4 за скобки у первого и третьего слагаемого.
4(х-у-у)+3(х-у)=1.
Этот процесс будем продолжать дальше, пока решение не станет очевидным:
4(х-2у)+3(х-у)=1;
3(х-2у)+(х-2у)+3(х-у)=1;
3(х-2у+х-у)+(х-2у)=1;
3(2х-3у)+(х-2у)=1.
Теперь мы упростили уравнение и можем сделать вывод, что чтобы оно решалось (2х-3у) должно равняться 1, а (х-2у) должно равняться -2. Получим систему уравнений:
Решая эту систему найдем х=8, у=5.
Это значит, что в пруду живет 8 синих и 5 красных осьминогов.
Метод вынесения общего множителя за скобки хорош и удобен для учащихся 7-8 классов тем, что все его основные действия, а именно вынесение общего множителя за скобки и решение систем уравнений, входят в школьную программу, поэтому ученику не придется запоминать никаких новых сложных алгоритмов. Однако недостатком этого метода является длинная запись решения.
Задача 3. Чтобы жениться на царевне, витязь каждую ночь должен рассказывать сказки ее отцу-царю Гороху. В какие-то ночи он рассказывает по 3 сказки, а в какие-то по 5 сказок. Всего он знает 382 сказки.
а) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5?
б) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5, если царь требует рассказать сказки как можно дольше, и сколько ночей это у него займет?
в) Сколько ночей витязь будет рассказывать по 3 сказки и сколько ночей по 5, если он хочет как можно быстрее жениться на царевне, и сколько ночей это у него займет?
Пусть х – количество ночей с 3 сказками,
у – количество ночей с 5 сказками,
тогда 3х+5у=382.
а) Решим это уравнение уже описанным ранее методом поиска частного решения с последующим переходом к общему. Для этого начальное уравнение 3х+5у=382 (1) приравняем к единице. Получим:
3х+5у=1 (2).
Решим уравнение(2) методом подстановки:
3х+5у=1;
3х=1-5у │:3;
х=(1-5у):3.
Остатки при делении на 3: 1, 2. Подставим их вместо у:
Если у=1, то х=(1-5∙1):3=-4:3 – не подходит.
Если у=2, то х=(1-5∙2):3=-9:3=-3 – подходит.
Значит:
х0=-3;
у0=2.
Теперь умножим эти значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1:
х=х0 ∙382=-3∙382=-1146;
у=у0 ∙382=2∙382=764.
Теперь подставим частные решения в начальное уравнение(1): 3∙(-1146)+5∙764=382 (3). Чтобы начать переход к общему значению надо из уравнения(1) вычесть уравнение(3). Получим:
Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х+1146) должно делиться на -5, а (у-764) на 3. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:
у-764=-3n;
x+1146=5n.
у=764-3n;
х=5n-1146.
Подставим в общее решение n=240. Получим:
у=764-3∙240=44;
х=5∙240-1146=54.
А это значит, что 54 ночи витязь будет рассказывать по 3 сказки, и 44 ночи по 5.
б) Чтобы рассказывать сказки как можно дольше, витязю необходимо в максимум возможных дней рассказывать по 3 сказки и в минимум дней по 5. Чтобы соблюсти это условие и решить задачу нужно из 382 отнимать 5 до тех пор, пока получившееся число не будет кратно 3. Тогда сколько 5 мы отнимем – это будет количество дней с 5 сказками. А получившееся число, поделенное на 3, будет количеством дней с 3 сказками. Решение:
382-5=377 – не подходит, т.к. не кратно трем.
377-5=372 – подходит, оно кратно трем, значит поделим его на 3.
372:3=124 – это количество дней с 3 сказками.
Из 382 мы вычли 5 два раза, а это значит, что дней с 5 сказками будет 2.
Мы пришли к выводу, что х=123, у=2. А все сказки витязь расскажет за 124+2=126 дней.
в) Чтобы рассказать сказки как можно быстрее, витязю необходимо в максимум возможных дней рассказывать по 5 сказок и в минимум дней по 3. Чтобы соблюсти это условие и решить задачу нужно из 382 отнимать 3 до тех пор, пока получившееся число не будет кратно 5. Тогда сколько 3 мы отнимем – это будет количество дней с 3 сказками. А получившееся число, поделенное на 5, будет количеством дней с 5 сказками. Решение:
382-3=379 - не подходит, т.к. не кратно пяти.
379-3=376 - не подходит, т.к. не кратно пяти.
376-3=373 - не подходит, т.к. не кратно пяти.
373-3=370 – подходит, т.к. кратно 5. Поделим его на 5:
370:5=74 – количество дней с 5 сказками.
Из 382 мы вычли 3 четыре раза, следовательно, дней с 3 сказками будет 4.
Мы пришли к выводу, что х=4, у=74. А все сказки витязь расскажет за 78 дней.
Решите задачи различными методами:
1. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?
2. В волшебном саду принцессы Изабелль растут кусты земляники и черники. Земляничных кустов у неё 21, а черничных 13. Сколько ягод растет на каждом кусте, если известно, что всех ягод черники на 19 больше, чем всех ягод земляники?
3. (Из деловой игры «Математическое моделирование. Строим город» от 16.12.2016.)
В своем микрорайоне Вы можете построить четырнадцати- и шестнадцатиэтажные дома. Сколько домов каждого вида необходимо построить, если известно, что всего Вы построите 870 этажей?
4. Буратино подарил Мальвине букет, состоящий из ромашек и пионов, причем у всех ромашек было по 12 лепестков, а у всех пионов по 32 лепестка. Сколько в букете было ромашек и сколько пионов, если известно, что лепестков всех ромашек было на 28 больше чем лепестков всех пионов?
5. Попугай Кеша умеет строить фразы только из 4 слов, а попугай Яшка только из 6 слов. В одном из их диалогов можно было насчитать 62 слова. Сколько фраз сказал каждый из попугаев?
6. В деревне у бабушки живут куры и кролики. Сколько у нее живет кур и сколько кроликов, если всех их ног вместе 76?
7. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 210 м. Имеются трубы 6 м и 9 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?
