Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39.
Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3. Ответ: (3; 3).
Уравнения, вида ах+bу=с, называются диофантовыми, по имени древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Жил Диофант, по-видимому, в 3 в. н. э., остальные известные нам факты его биографии исчерпываются таким стихотворением-загадкой, по преданию выгравированным на его надгробии:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет, проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Сколько же лет прожил Диофант Александрийский?
Задача 2. На складе имеются гвозди в ящиках по 16,17 и 40 кг. Может ли кладовщик выдать 100 кг гвоздей, не вскрывая ящики? (метод прямого перебора)
Разберем метод решения относительно одного неизвестного.
Задача 3. В каталоге картинной галереи всего 96 картин. На каких-то страницах расположено 4 картины, а на каких-то 6. Сколько страниц каждого вида есть в каталоге?
Решение. Пусть х – количество страниц с четырьмя картинами,
у – количество страниц с шестью картинами,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
4x+6y=96.
Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент. В нашем случае это 4х, то есть:
4х=96-6у.
Делим все уравнение на этот коэффициент:
4х=96-6у | :4;
х=(96-6у):4.
Остатки при делении на 4: 1,2,3. Подставим вместо у эти числа.
Если у=1, то х=(96-6∙1):4=90:4 - Не походит, решение не в целых числах.
Если у=2, то х=(96-6∙2):4=21 – Подходит.
Если у=3, то х=(96-6∙3):4=78:4 - Не походит, решение не в целых числах.
Итак, частным решением является пара (21;2), а это значит, что на 21 странице расположено по 4 картины, а на 2 страницах по 6 картин.
Разберем метод решения с использованием алгоритма Евклида.
Задача 4. В магазине продаётся шоколад двух видов: молочный и горький. Весь шоколад хранится в коробках. Молочного шоколада на складе имеется 7 коробок, а горького 4. Известно, что горького шоколада было на одну плитку больше. Сколько плиток шоколада находятся в коробках каждого вида?
Решение. Пусть х – количество плиток молочного шоколада в одной коробке,
у – количество плиток горького шоколада в одной коробке,
тогда по условию этой задачи можно составить уравнение:
4у-7х=1.
Решим это уравнение, используя алгоритм Евклида.
4у-7х=1;
Выразим 7=4∙1+3, => 3=7-4∙1.
Выразим 4=3∙1+1, => 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙2-7∙1=1.
Итак, получается х=1; у=2.
А это значит, что молочный шоколад лежит в коробке по 1 штуке, а горький по 2 штуки.
Разберем метод поиска частного решения и общей формулы решений.
Задача 5. В африканском племени Тумбе-Юмбе два аборигена Тумба и Юмба работают парикмахерами, причем Тумба всегда заплетает своим клиентам по 7 косичек, а Юмба по 4 косички. Сколько клиентов обслужили мастера по отдельности за смену, если известно, что вместе они заплели 53 косички?
Решение. Пусть х – количество клиентов Тумбы,
у – количество клиентов Юмбы,
тогда 7х+4у=53 (1).
Теперь чтобы найти частные решения уравнения ( , ), заменим данную нам сумму чисел на 1. Это заметно упростит поиск подходящих чисел. Получим:
7х+4у=1 (2).
Решим это уравнение методом подстановки.
7х+4у=1;
4у=1-7х │:4;
у=(1-7х):4
Остатки при делении на 4: 1, 2, 3. Подставим вместо х эти числа:
Если х=1, то у=(1-7):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.
Если х=2, то у=(1-7∙2):4 – не подходит, т.к. решение не в целых числах.
Если х=3, то у=(1-7∙3):4=-5 – подходит.
Значит:
х0=3;
у0=-5.
Затем умножим получившиеся значения на начальное значение суммы, которую мы заменяли на 1, т.е.
х=х0 ∙53=3∙53=159;
у=у0 ∙53=-5∙53=-265.
Мы нашли частное решение уравнения(1). Проверим его, подставив начальное уравнение:
7∙159+4∙(-265)=53; (3)
1113-1060=53;
53=53.
Ответ сошелся. Если бы, мы решали абстрактное уравнение, то можно было бы на этом остановиться. Однако мы решаем задачу, а поскольку Тумба не мог заплести отрицательное число косичек, нам необходимо продолжать решение. Теперь составим формулы для общего решения. Чтобы это сделать вычтем из начального уравнения(1) уравнение с подставленными значениями (3). Получим:
Вынесем общие множители за скобки:
7(х-159)+4(у+265)=0.
Перенесем одно из слагаемых из одной части уравнения в другую:
7(х-159)=-4(у+265).
Теперь стало видно, что чтобы уравнение решалось (х-159) должно делиться на -4, а (у+265) должно делиться на 7. Введем переменную n, которая будет отображать это наше наблюдение:
х-159=-4n;
y+265=7n.
Перенесем слагаемые из одной части уравнения в другую:
х=159-4n;
у=7n-265.
Мы получили общее решение данного уравнения, теперь в него можно подставлять различные числа и получать соответствующие ответы.
Например, пусть n=39, тогда
х=159-156=3;
у=273-265=8.
А это значит, что Тумба заплел косички 3 клиентам, а Юмба 8 клиентам.
Решите задачи различными методами.
Задача 6: Вовочка купил ручки по 8 рублей и карандаши по 5 рублей. Причем за все карандаши он заплатил на 19 рублей больше, чем за все ручки. Сколько ручек и сколько карандашей купил Вовочка? (метод поиска общего решения, решение относительно одного не известного, использование алгоритма Евклида).
Задача 7. Куплены фломастеры по 7 рублей и карандаши по 4 рубля за штуку, всего на сумму 53 рубля. Сколько куплено фломастеров и карандашей?
Задача 8.(муниципальный тур ВОШ 2014-2015 г.) : на планете С в ходу два вида монет: по 16 тугриков и по 27 тугриков. Можно ли с их помощью купить товар, ценой в 1 тугрик?
Задача 9. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если в какие-то ночи она будет рассказывать по 3 сказки, а в какие-то по 5? За сколько ночей Шехерезада расскажет все свои сказки, если хочет сделать это как можно быстрее? Сколько ночей понадобится Шехерезаде, если ей утомительно рассказывать по пять сказок за ночь, поэтому таких ночей должно быть как можно меньше?
Задача10. (вспомним «Водолея») Как налить 3 литра воды, имея 9-литровую и 5-литровую емкости?
Задача 11. Вовочка отлично успевает по математике. В дневнике у него только пятерки и четверки, причем пятерок больше. Сумма всех Вовочкиных оценок по математике равна 47. Сколько Вовочка получил пятерок и сколько четверок?
Задача 12. Кощей Бессмертный устроил питомник по разведению Змеев Горынычей. В последнем выводке у него есть Змеи о 17-ти головах и о 19-ти головах. Всего этот выводок насчитывает 339 голов. Сколько 17-тиголовых и сколько 19-тиголовых Змеев вывелось у Кощея?
Ответы: Диофант прожил 84 года;
задача 2: 4 ящика по 17 кг и 2 ящика по 16 кг;
задача 6: куплено 7 карандашей и 8 ручек, то есть (7,2) – частное решение и у = 2 + 5n, х = 7 + 8n, где nє Z – общее решение;
задача 7: (-53; 106) – частное решение, х=4n-53, у=-7n+106 – общие решения, при n=14, х=3, у=8, то есть куплено 3фломастера и 8 карандашей;
задача 8: например, заплатить 3 монеты по 27 тугриков и получить сдачу 5 монет по 16 тугриков;
задача 9: (2002; -1001) – частное решение, х=-5 n+2002, у=3n-1001 – общее решение, при n=350, у=49, х=252, то есть 252 ночи по 3 сказки и 49 ночей по 5 сказок - всего 301 ночь; самый быстрый вариант: 2 ночи по три сказки и 199 ночей по 5 сказок - всего 201 ночь; самый долгий вариант: 332 ночи по 3 сказки и 1 ночь 5 сказок - всего 333 ночи.
задача 10: например, 2 раза налить воду 9-тилитровой банкой и 3 раза вычерпать ее 5-тилитровой банкой;
задача 11: Вовочка получил 7 пятерок и 4 четверки;
задача 12: 11 Змеев о 17-ти головах и 8 Змеев о 19-ти головах.
