План
I Введение
II Теоретическая часть
1. Что такое серебряное сечение?
2. Примеры серебряного сечения.
а) Живопись.
б) Архитектура.
в) Литература.
III Практическая часть
1.Серебряные циркули.
2. Поиск серебряного сечения.
3. Социологическое исследование гармоничности серебряного сечения.
IV Заключение.
l Введение
В прошлом году я проводила исследование на тему: «Золотое сечение вокруг нас». Одним из методов моей работы был - социологический опрос. Я начертила несколько прямоугольников, один из которых был «золотой». Респондентам надо было выбрать самый гармоничный из них.
«Золотой» прямоугольник был изображен под буквой D, как видно из таблицы, он набрал наибольшее количество голосов, чем и подтвердил свою эстетическую ценность. Но я обратила внимание, что прямоугольник F, тоже набрал много голосов, гораздо больше чем остальные. С чем это связано? Загадка! Соотношение между сторонами этого прямоугольника оказалось равным 2,41.,что приблизительно равно Изучив дополнительную литературу, я узнала, что это прямоугольник с серебряными пропорциями. Естественно, мне захотелось больше узнать про серебряные пропорции, где они использовались раньше, используются ли сейчас. Исследованию этих вопросов и посвящена моя работа.
Таким образом, целью моей работы является выявление примеров использования «серебряного сечения» и его присутствия в искусстве, архитектуре и литературе.
Задачи:
- изучить историю вопроса;
- привести примеры «серебряного сечения»;
- создать инструмент для определения «серебряных пропорций»;
- найти свои примеры использования «серебряного сечения»;
- выяснить, какая из «серебряных пропорций» наиболее гармонична.
Гипотеза исследования: я считаю, что «серебряное сечение» встречается в разных областях искусства, его присутствие мы можем обнаружить в окружающем нас мире.
В процессе исследования я использовала следующие методы работы:
- работа с источниками информации;
- анализ, сравнение, аналогия;
- практическая работа по изготовлению инструметов исследования;
- практическая работа с изготовленными инструментами;
- социологический опрос.
II Теоретическая часть
- Что такое серебряное сечение?
Изучив литературные и интернет- источники, я узнала, что серебряное сечение — это геометрическое соотношение, приближенно равное либо 2,41, либо 3,14 и выделяемое эстетически. Математики исследовали серебряное отношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно). В отличие от "золотого сечения", по аналогии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения.
С одной стороны, считают, что две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей то же самое, что и отношение большей величины к меньшей. В этом случае, серебряное сечение — иррациональное, но алгебраическое, число, приблизительно равное 2,41.
Обозначим далее серебряное сечение за (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:
Это уравнение имеет единственный положительный корень.
Доказательство:
(последовательность A014176 в OEIS – энциклопедия целочисленных последовательностей).
Но другие ученые считают, что серебряное сечение равно отношению длины окружности к диаметру этой окружности, то есть числу π≈ 3,14.
По крайней мере в последнее время, некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым».
- Примеры серебряного сечения
а) Живопись.
Рассмотрим картину Александра Иванова «Явление Христа народу».
Явственный эффект приближение Мессии к людям возникает из-за того, что он уже прошел точку золотого сечения (перекрестье оранжевых линий) и сейчас входит в точку, которая называется точкой серебряного сечения (в данном случае - это отрезок, деленный на число π, или отрезок минус отрезок, деленный на число π). В этом примере используется второе значение «серебряного сечения» .
Именно такие отношения не статичных, а динамических пропорций нередко имеют место в тех великих произведениях, которые построены на динамике события.
Леонардо да Винчи (автопортрет).
Леонардо да Винчи (Портрет в профиль маркизы Изабеллы Мантуи).
При анализе трех портретов работы Леонардо да Винчи оказывается, что у них практически идентичная композиция. И построена она не на золотом сечении, а на √2, горизонтальная линия которого на каждой из трех работ проходит через кончик носа. Это такие работы, как сам портрет Леонардо, портрет в профиль маркизы Изабеллы Мантуи и др. Как видно, в этих портретах используется первое значение «серебряного сечения».
б) Архитектура.
Серебряное сечение встречается в пропорциях Георгиевской и Успенских церквей нахоящихся в Старой Ладоге (обе – XII век).
Георгиевская церковь. Успенская церковь.
В то время русские зодчие для строительства храмов использовали так называемую «саженную» систему строительства. В ее основе лежат дроевнеегипетские и греческие мерки.
Некогда египтяне метрологически интерпретировали пропорции человеческой руки: если в одну сторону отложить три египетских локтя, добавив к ним «пальму» (ширину ладони), а перпендикулярно взять один локоть, то отношение сторон даст 3,143. (Число π равно 3,142…)
Средневековый зодчий мыслил не линейной мерой, а пропорцией. Или, как выразился архитектор И. Ш. Шевелев, – парной мерой. Человеку, привыкшему пользоваться одной мерой (скажем, метром), понять это бывает не так-то легко.
В основе системы древнерусских саженей лежит греческий фут, равный 1/31 ствола колонны Парфенона (0,30871 м). В системе из девяти (а начально даже двенадцати) мерных шкал закреплены фундаментальные пропорции (√5 − 1) : 1; √5 : 2; √2 : 1 и число π.
По античному футу, за полторы тысячи лет не изменившемуся, построены и первые древнерусские храмы.
Восстановлением старинной русской системы строительства занимался петербургский поэт и переводчик Андрей Чернов.
А. Чернов выпустил семь книг стихов. Печатается как публицист и критик в «Московских новостях», «Новой газете», в журналах «Огонёк», «Знамя», «Синтаксис».
в) Литература.
Кроме того, Андрей Чернов обнаружил, что и в литературных поэтических произведениях можно найти серебряные пропорции. Математическую закономерность принципа «серебряного сечения» Чернов впервые нашел в тексте загадочного древнерусского памятника «Слово о полку Игореве» в виде отношения:
Число стихов во всех трёх частях «Слова…» (их 256) к
Числу стихов в первой и последней части (80).
Это отношение приблизительно ровно 3, 14, то есть числу π. Здесь использовалось второе значение серебряных пропорций.
Так же, «проверив алгеброй гармонию», А. Чернов обнаружил серебряное сечение в строении поэмы А.С. Пушкина «Медный всадник» (1833).
А.С. Пушкин. Медный всадник.
В «Медном Всаднике» А. С. Пушкин также использовал круговую композицию. Поделив число строк в издании поэмы под редакцией Б. В. Томашевского на её «диаметр», Чернов получил число, близкое к П. пропорции «Медного всадника» таковы: Вступление – 96 цельных стихов; часть первая – 148; часть вторая – 222 стиха. Диаметр от 466 стихов как раз и равен 148 стихам. Пропорция по строкам: 97 + 152 + 229 = 478. И при таком подсчете средняя часть равна диаметру всего текста.
Подробнее о серебряном сечении в поэме А.С. Пушкина смотрите в приложении 2.
III Практическая часть
- Как мы делали серебряные циркули.
Для того, что бы сделать циркуль с пропорцией 3,14 мы взяли две одинаковые палочки длинной по 20 см. Затем мы разделили их на 2 неравные части. Для того, чтобы циркуль показывал пропорции «серебряного сечения 3,14» я составила уравнение: Пусть x см – меньшая часть палки, тогда 3,14x см – большая часть; (x+3,14x) мм – длина всей палки. Зная, что длина нашей палки 20 см, получим уравнение
x+3,14 x=20;
4,14x=20;
x=20:4,14;
x≈4-этоменьшаясторона
Для того, что бы сделать циркуль с пропорцией 2,41мы взяли две одинаковые палочки длинной по 20 см. Затем мы разделили иx на 2 неравные части. Для того, чтобы циркуль показывал пропорции «серебряного сечения 2,41» я составила уравнение: Пусть x см – меньшая часть палки, тогда 2,41x см – большая часть; (x+2,41x) мм – длина всей палки. Зная, что длина нашей палки 20 см, получим уравнение
x+2,41x=20;
3,41x=20;
x=20:3,41;
x≈5- это меньшая сторона
Если раздвинуть ножки этих циркулей, они всегда покажут пропорции «серебряного сечения». Теперь с помощью этих циркулей я могу найти примеры серебряного сечения.
- Поиск серебряного сечения.
Как было сказано в первой части в10-12 вв. на Руси использовали своеобразную метрику для строительства, поэтому я предположила, что исследовать примеры серебряного сечения нужно в храмах строительство, которых относятся к этому времени. Например, я нашла пропорции серебряного сечения в Дмитровском соборе во Владимире (12 век). Как видно отношения высоты фасада храма к ширине барабана укладываются в пропорции серебряного сечения. Так же дверь храма укладывается в эти пропорции.
Владимир. Дмитровский собор. Владимир. Успенский собор.
Также пропорции серебряного сечения встречаются в Успенском соборе во Владимире. Как видно отношения высоты фасада храма к ширинам
барабанов укладываются в пропорции серебряного сечения.
Проверим наши пропорции на Успенском соборе Московского Кремля. Там тоже отношения высоты фасада храма к ширинам барабанов
подчиняются серебряному соотношению. А ещё в этом соборе окна фасада построены в отношении 1/π.
Успенский собор Московского Кремля.
Ещё эти же пропорции встречаются в Пятницком храме в Чернигове.
Чернигов. Пятницкий храм.
- Социологическое исследование гармоничности «серебряного сечения».
Но почему же два различных значения носят в математике одно название «серебряное сечение». Может быть исследовать их эстетическую ценность методом социологического опроса? Может быть, прямоугольник, набравший меньшее количество голосов мы будим называть «бронзовым», а набравший большое количество голосов «серебряным». Для этого я нарисовала 2 прямоугольника. Один прямоугольник был со значением 2,41, а другой со значением 3,14.
Затем я опросила 106 человек. По результатам опроса 55 человек проголосовали за 1-ый прямоугольник, и 51 человек проголосовал за 2-ой прямоугольник. Разрыв оказался очень маленьким, он не дает основание предпочесть одно соотношение другому. Наверное, именно поэтому две различных пропорции носят одно название «серебряного сечения». Их эстетическая ценность приблизительно одинаковая.
IV Заключение
В процессе проведенного исследования я узнала, что существует два различных значения «серебряного сечения», убедилась, что оба эти значения можно найти в живописи, в архитектуре, в литературе. То есть моя гипотеза о том, что «серебряное сечение» встречается в разных областях искусства, его присутствие мы можем обнаружить в окружающем нас мире, полностью подтвердилась. Используя созданные мною «серебряные» циркули, я смогла найти несколько своих примеров применения серебряного сечения в архитектуре. Убедились, что оба значения «серебряного сечения» практически равноценны. Считаю, что полученные мною знания, можно использовать в художественном творчестве, дизайне, оформительстве.
V Источники информации.
Интернет-источники:
Бумажные источники:
- Энциклопедия А. Чернова.
- Андрей Чернов. Заметки о вечном. «Серебряное сечение (введение в проблему)»
- Чернов А. Ю. Семь раз отмерь // Хроники изнаночного времени. — СПб., 2006.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Реконструкция старинной русской саженной системы строительства по А. Чернову.
В основе системы древнерусских саженей лежит греческий фут, равный 1/31 ствола колонны Парфенона (0,30871 м). В системе из девяти (а начально даже двенадцати) мерных шкал закреплены фундаментальные пропорции (√5 − 1) : 1; √5 : 2; √2 : 1 и число π.
По античному футу, за полторы тысячи лет не изменившемуся, построены и первые древнерусские храмы. Впрочем, греческий фут древнее, чем это полагают, ведь геометрически он – 1/12 диагонали квадрата, сторона которого равна пяти египетским царским локтям (0,524 м). Греки, по всей видимости, и заимствовали у египтян фут как меру для проверки диагоналей, но превратили его из «косой» меры в меру «прямую».
Семь древнегреческих футов точно равны одной так называемой большой древнерусской сажени (2,16 м). Русская поговорка «семь раз отмерь, один раз отрежь» – это о греческом футе: расчистив площадку будущего храма, архитектор должен был изготовить набор из девяти пропорциональных тростей, и семь раз отложив поясок с эталоном греческого фута, он получал мерную линейку со шкалой в одну большую сажень. Остальные восемь строились уже чисто геометрически.
Слово «сажень» (древнерусское «сяжень») восходит к старославянскому глаголу «сягняти» – протягивать руку[15][15]. Это прямое указание на то, что сажени – антропоморфная мера. Неясно только, куда направлена рука – вверх, и считать надо от земли, или это две руки, раскинутые в стороны.
На строительной площадке, уже расчищенной под будущий храм, с изготовления большой сажени и должна была начинаться геометрическая разметка пропорций древнерусской саженной системы. И каждая такая пропорция могла была осмыслена как некая антропоморфная данность.
- Мерный ангел.Антропоморфизм живого квадрата и саженной системы
По рисунку Наталии Введенской, сделанному для этой реконструкции
согласно пропорциям саженной системы и «Копьеносцу» Поликлета.
В основу конструктивной схемы человека заложен тройной циркуль (ноги и дважды руки). Потому-то число π и оказалось материализованным в антропоморфных пропорциях (также, как, впрочем, и Ф, и √2).
ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ЖИВОГО КВАДРАТА
- Рисуем квадрат ABCD.
- Превращаем его в живой квадрат AbcD поделив высоту на 34 части и взяв из них 33. Наш живой квадрат – это чуть приплюснутый обыкновенный квадрат. Его ширина – размах рук человека, а высота – рост, который лишь на 3 % меньше ширины.
- Половина роста – длина ног.
- Четверть роста – точка сгиба ноги (расстояние от земли до низа коленей).
- Определим среднюю точку между верхней горизонталью квадрата и верхней горизонталью живого квадрата. От нее отложим вверх четверть роста и получим высоту поднятой руки.
- Берем 5/6 от роста и получаем высоту плеч.
- Если мы хотим, чтобы пупок приходился на точку золотого сечения от роста (что, разумеется, вовсе не обязательно, но, в принципе, возможно), надо взять половину расстояния от высоты плеч до кончиков пальцев поднятой руки и отложить этот отрезок вниз от высоты плеч.
- 1/6 от высоты плеч – высота головы от подбородка до макушки.
- Расстояние от подбородка до конца среднего пальца поднятой руки определит расстояние от земли до конца среднего пальца опущенной руки, а также и точку яремной ямки в основании шеи, и начало кисти, и ширину плеч. (Леонардо да Винчи не зря пытался вписать своего мерного человечка в круг и квадрат, ведь геометрически тело человека – подобие тройного циркуля. Но если брать длину руки от подмышки, то это диаметр высоты роста, взятого с поднятой вверх рукой.)
- Остается получить точку солнечного сплетения и подвздошной ости таза. Для этого возьмем по вертикальной оси отрезок от верха ног до верха квадрата (не живого, а обыкновенного). Отложив этот отрезок вниз от высоты поднятой руки, получим одну из этих точек, а взяв тот же отрезок от земли, – другую.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Серебряное сечение в поэме А.С. Пушкина «Медный всадник».
В «Медном Всаднике» А. С. Пушкин также использовал круговую композицию. Поделив число строк в издании поэмы под редакцией Б. В. Томашевского на её «диаметр», Чернов получил число, близкое к П. В «Медном всаднике» 477 строк. Именно строк, а не стихов, что не одно и то же. При этом, разумеется, не учитаны зачеркнутых самим Пушкиным (трижды!), но восстанавленных в пятом томе Академического издания редактором С.М.Бонди шестнадцати стихов (От «Евгений тут вздохнул сердечно…» по «…И внуки нас похоронят»). Частей в «петербургской повести» три. Каждая больше предыдущей ровно в полтора раза. А если целое разделить на среднюю часть, получится 3,16. Почти что π... Подробнее о серебряном сечении в поэме А.С. Пушкина смотрите в приложении 2.
До 3,14 в средней части не хватает одной строки.
Впрочем, в «Медном всаднике» есть один незарифмованный стих..
Погода пуще свирепела,
Нева вздувалась и ревела,
Котлом клокоча и клубясь,
И вдруг, как зверь остервенясь,
На город кинулась. Пред нею
Все побежало, все вокруг
Вдруг опустело -- воды вдруг...
Где рифма к «пред нею»? И Андрей Чернов нашел ее в академическом издании. И в черновике, и в беловой рукописи. Нет ее только в писарской копии, которую Пушкин, впрочем, правил.
...Со всею силою своею
Пошла на приступ. Перед нею
Все побежало...
Потерянную писарем строку Пушкин, конечно, заметил. Но восстанавливать не стал. Ведь без нее куда лучше! Так и Нева бросилась на город, смяв расчисленное его пространство. Пошла на приступ, калеча сам ритм жизни Петрополиса, отменяя законы быта, а заодно и законы рифмовки четырехстопного ямба.
С восстановленным стихом пропорции «Медного всадника» таковы: Вступление – 96 цельных стихов; часть первая – 148; часть вторая – 222 стиха. Диаметр от 466 стихов как раз и равен 148 стихам. Пропорция по строкам: 97 + 152 + 229 = 478. И при таком подсчете средняя часть равна диаметру всего текста.
Любое художественное творение – виток спирали, разомкнутая окружность. Значит, у композиции стихотворения или фуги может быть и «диаметр композиции». То есть серебряное сечение. Только у Пушкина часть, равная диаметру, посредине поэмы, а у автора «Слова» это две крайние части. Уточним: разница между первой и третьей частями древнерусской поэмы – неполные четыре десятка слогов, но их среднее арифметическое настроено на число π. Я и вспомнил о древнерусской архитектуре именно потому, что пропорции «Слова» – это пропорции трехнефного крестово-купольного храма. Три части «Слова» – это как три храмовых апсиды: крайние поменьше, а средняя (алтарная) чуть больше.
Потом, правда, обнаружив акцент серебряного сечения и в других поэмах Пушкина, и в сонетной форме (пятый и десятый стих из четырнадцати), и в фугах Баха, Андрей Чернорв увидел, что невзначай коснулся какой-то закономерности, заложенной в художественную форму самой природой. Объяснение этому он видел только в антропоморфности, то есть в человекоподобии, и поэзии, и музыки. Или – что одно и то же! – в космотропности самого человека и наиболее человечных его творений.
Именно на трансцендентном числе π – то есть на таком, которое не может быть получено при помощи алгебраических уравнений! – зиждится гармония самой природы и гармония творчества. Ведь – основа любой синусоиды, а, значит, и любого гармонического процесса.
