В рассуждениях при решении логических задач часто используется принцип Дирихле (по имени немецкого математика Питера Густава Дирихле, 1805-1895). В обиходе этот принцип называют принципом размещения вещей в ящиках: если вещей у нас больше, чем ящиков, по которым мы хотим их разложить, то по крайней мере в одном из ящиков должно быть 2 или большее число вещей. Иногда этот принцип высказывают в шутливой форме: "нельзя посадить семерых кроликов в три ящика так, чтобы в каждом ящике находилось не более двух кроликов".
Используем этот принцип для решения задач.
1. В городе N имеется 200 тыс. жителей. Доказать, что в городе N имеется по крайней мере два человека с одним и тем же числом волос на голове. Известно, что на голове у человека не более 100000 волос.
2. В детский садик ходят 367 ребятишек. Докажите, что по крайней мере у двоих из них дни рождения в один и тот же день.
3. В контрольной работе по математике Вовочка сделал 10 ошибок, а остальные ребята – не больше. Докажите, что по крайней мере четверо учеников сделали одинаковое количество ошибок (быть может, и ноль), если известно, что в классе 34 человека.
4. В шкафу лежат вперемешку 5 пар светлых ботинок и 5 пар темных ботинок одинакового размера и фасона. Какое наименьшее количество ботинок надо взять наугад из шкафа, чтобы среди них была хоть одна пара (на правую и левую ноги) одинакового цвета?
5. Мальчик вошел в комнату, чтобы взять из шкафа свои ботинки и носки. В комнате спала его сестра . и было совсем темно. В шкафу у него было три пары ботинок – все разных фасонов, и 12 пар носков – черных и коричневых. К сожалению, ботинки и носки лежали в беспорядке. Сколько ботинок и сколько носков ему нужно взять, не включая свет, чтобы обеспечить себя парой ботинок одного фасона и парой носков одного цвета?
6. В коробке лежат карандаши: 7 красных и 5 синих. Сколько надо взять карандашей в темноте, чтобы среди них было не меньше 2-х красных и не меньше 3-х синих?
7. В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих и 4 желтых. Какое наименьшее число карандашей надо взять в темноте, чтобы среди них заведомо было:
а) не менее 4-х карандашей одного цвета;
б) не менее 6 карандашей одного цвета;
в) хотя бы один карандаш каждого цвета;
г) не менее 6 синих карандашей?
8. В погребе стоит 20 одинаковых банок с вареньем. В 8-ми банках клубничное варенье, в 7-ми – малиновое, в 5-ти – вишневое. Какое наибольшее число банок можно вынести из погре6ба в темноте, чтобы там осталось хотя бы 4 банки одного сорта и 3 банки другого?
9. У марсианина Тинка 5 (х) рук. Ему надо выйти на улицу, а появляться на марсианских улицах в перчатках разного цвета почему-то считается непристойным. На беду все перчатки Тинка, а они 6 –ти (у) разных цветов по 5-ти (х) экземпляров каждого цвета, спрятаны в темной кладовой. Сколько Тинку потребуется одновременно взять перчаток из кладовой, чтобы он наверняка смог выбрать из них 5 (х) перчаток одного цвета?
Где в следующих задачах нарушается принцип Дирихле?
10. Администратор одной из гостиниц решил разместить в 12 одноместных номерах 13 человек, не допуская поселения в одной комнате 2-х человек. Предупредив 13-ого туриста, что он временно помещается в первой комнате, предприимчивый администратор принялся за размещение остальных по одному в каждой комнате, начиная с первой. В итоге, в 1-ой комнате оказалось два человека, третий был помещен во 2-ой комнате, 4-ый – в 3-ей комнате, 5-ый – в 4-ой комнате и так далее до 12-го, который был очевидно размещен в 11-ой комнате. 12-ая комната оказалось свободной, её-то администратор и предоставил 13-му туристу, который временно находился в первой комнате. Итак, 12=13.
11. Однажды Незнайка заявил: «А я могу посадить 7 кроликов в 3 ящика так, чтобы в каждом ящике сидело только 2 кролика!». – Как ты это сделаешь? – спросил его Знайка. – Очень просто: сначала я посажу седьмого кролика в первый ящик временно, к нему подсажу 1-го и 2-го кроликов. Итак, в первом ящике у меня сидят три кролика. 4-го и 5-го я посажу во второй ящик; 6-го кролика я посажу в третий ящик и к нему в пару пересажу 7-го кролика из первого ящика. Итак, в каждом ящике по два кролика!»
