Исследовательская работа ученицы 6 класса "В" ГБОУ Гимназии 1257 Соколовой Ксении.
План
- I. Вступление.
- II. Что такое «золотое сечение»?
1. Определение и построение «золотого сечения».
2. Число φ и ряд Фибоначчи.
3. История «золотого сечения».
4. «Золотое сечение» в природе.
5. «Золотой прямоугольник».
III. Практическая часть.
1. Экспериментальное подтверждение красоты и гармонии «золотой пропорции».
2. Этот циркуль мы делали вместе с дедушкой.
3. Коллекция «золотых».
IV. Заключение.
V. Список литературы.
I. Вступление.
В учебнике по математике, на странице 145, есть статья про «золотое сечение. Информации в учебнике было очень мало. Используется ли «золотое сечение» в современном мире? Так ли оно гармонично, как утверждают античные философы и ученые? Чтобы ответить на эти и другие вопросы, я решила подробнее ознакомиться с этой темой.
Цель моей работы: доказательство гармонии «золотого сечения» и его присутствия в окружающем нас мире.
Гипотеза: мы считаем, что «золотое сечение» действительно гармонично, и человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе «золотые пропорции».
Для выполнения поставленной цели мы решали следующие задачи:
1. Изучить историю вопроса.
2. Систематизировать теоретические сведения о золотом сечении.
3. Создать инструмент для определения «золотых пропорций».
4. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.
Методы исследования:
1. Работа с учебной и научно-популярной литературой.
2. Социологический опрос.
3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
4. Практическая деятельность.
Объект исследования: «золотое сечение».
Предмет исследования: золотое сечение в окружающем мире.
Актуальность работы заключается в следующем:
1) пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах окружающей нас жизни означает соблюдение определённых соотношений между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты;
2) всеобщий характер исследуемого материала;
3) богатая и увлекательная история исследуемого материала;
4) сведения о «золотом сечении» впервые встречаются в учебнике 6 класса; возникает желание углубить свои знания по математике, показать значение математики во всех областях окружающей нас жизни.
I. Что такое «золотое сечение» ?
- 1. Определение и построение «золотого сечения».
Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.
Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. a : b = b : c или с : b = b : а.
Геометрическое изображение золотой пропорции
Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.
Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC
Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.
Как же найти численное выражение «золотой пропорции»?
Пусть х - меньшая часть, тогда кх – большая часть, а(х+кх) – это целый отрезок. Тогда, по определению «золотой пропорции» получим:
х:кх=кх:(х+кх);
Используя основное свойство пропорции, получим:
Разделим обе части равенства на 
Приведем уравнение к стандартному виду: 
Решение этого уравнения:
Положительный корень уравнения приближенно равен 1,618. Полученное число носит название числа φ (фи).
2. Число φ и ряд Фибинчи.
Это число названо в честь древнегреческого архитектора Фидия, создавшего храм Парфенон в Афинах (по первой букве имени). На самом деле в числе φ бесконечно много знаков после запятой – это бесконечная непериодическая дробь. Можно привести запись этого числа с большим количеством цифр: φ=1,61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544…
С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи).
Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:
|
Месяцы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
и т.д. |
|
Пары кроликов |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
и т.д. |
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...
3. История «золотого сечения».
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) .
Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона, созданного знаменитым древнегреческим архитектором Фидием, присутствуют золотые пропорции.
При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Пропорциональный циркуль является необходимым атрибутом архитектора. Он состоит из двух равных по длине ножек, скреплённых винтом наподобие ножниц, и позволяет (минуя вычисления!) для любого отрезка получить отрезок, находящийся с ним в заданном отношении. Так вот, помпейский циркуль наглухо закреплен в отношении золотого сечения.
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.
Лука Пачоли
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В своих художественных произведениях Леонардо да Винчи конечно же использовал пропорции «золотого сечения». Так например, это соотношение между высотой и шириной лица Моны Лизы на картине «Джоконда».
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер.
Альбрехт Дюрер. Автопортрет.
Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.
Великий астроном XVI в. Иоганн Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».
Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).
В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.
Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского.
Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона,
С. Цейзинг
стихотворные размеры.
Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону.
4. Золотое сечение в природе.
Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.
В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.
И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.
Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.
5. «Золотой прямоугольник».
Стороны золотого прямоугольника имеют отношение 1,618 к 1. Чтобы построить золотой прямоугольник, начните с квадрата со сторонами, равными двум единицам, потом проведите линию от середины одной стороны квадрата к одной из его вершин, образующих противоположную сторону, как показано на рисунке.
Треугольник EDB является прямоугольным. Около 550 года до Р.Х. Пифагор доказал, что квадрат гипотенузы (X) прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон. В данном случае X2 = 22 + I2, или X2 = 5. Длина стороны ЕВ, таким образом, должна быть квадратным корнем из 5. Строя золотой прямоугольник, следующим шагом продлите отрезок CD и постройте на нем отрезок EG, равный квадратному корню из 5, или 2,236 единицы длины, как показано на рис. 3-5. В построенных таким образом прямоугольниках стороны связаны золотым коэффициентом. Таким образом, и прямоугольник AFGC, и прямоугольник BFGD являются золотыми.
Поскольку стороны прямоугольников связаны золотым отношением, следовательно, эти прямоугольники, по определению, являются золотыми прямоугольниками.
ΙI. Практическая часть.
2.1 Экспериментальное подтверждение красоты и гармонии «золотой пропорции».
Я провела исследование: я нарисовала 7 различных прямоугольников. Среди них я спрятала один прямоугольник, который был сделан по пропорциям «золотого сечения». Затем я расспросила одноклассников, учителей, родных и друзей, какой прямоугольник кажется им наиболее гармоничным? Всего было опрошено 72 человека. Вот результаты опроса:
|
Прямоугольник |
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
|
Число голосов |
4 |
3 |
31 |
5 |
9 |
20 |
0 |
|
Проценты |
5,56 |
4,17 |
43,06 |
6,94 |
12,5 |
27,78 |
0 |
«Золотой прямоугольник» на моем чертеже был подписан буквой С. Как видно из приведенной таблицы, подавляющее большинство опрошенных выбрало «золотой прямоугольник». Мы можем подвести итоги: золотое сечение действительно выглядит гармоничным и радует глаз.
2.2 Этот циркуль мы делали вместе с дедушкой.
Но может быть «золотое сечение» забыто, и в наши дни совсем не используется современными дизайнерами, художниками, архитекторами? Как же это проверить? Я решила создать свой инструмент для определения «золотой пропорции». Мой циркуль сделан по принципу старинного помпейского циркуля, а помог мне его сделать дедушка.
Вам, наверное, будет интересно узнать, как мы это делали?
Сначала мы взяли 2 одинаковые палки длиной по 146 мм.
Затем мы разделили их на 2 неравные части.
Для того, чтобы циркуль показывал пропорции «золотого сечения» я составила уравнение: Пусть х мм – меньшая часть палки, тогда 1,618х мм – большая часть; (х+1,618х) мм – длина всей палки. Зная, что длина нашей палки 146 мм, получим уравнение
Х+1,618х=146;
2,618х=146;
Х=146:2,618;
Х≈56.
То есть меньшая часть была 56 мм, а большая часть: 56·1,618≈ 90 мм.
Соотношение между двумя сторонами получилось 1,618.
Если раздвинуть ножки циркуля, то он всегда покажет пропорции «золотого сечения». Так как треугольник АОВ и треугольник СOD называются подобными. В подобных треугольниках все стороны пропорциональны.
Поэтому, если 
Теперь с помощью этого циркуля я могла определить, где присутствуют «золотые пропорции».
2.3 Коллекция «золотых».
Мне стало очень интересно, какие предметы сделаны по принципу «золотого сечения». Я ходила и измеряла всё вокруг. И оказалось, что многие предметы из нашей повседневной жизни сделаны по принципу «золотого сечения».
Первым «открытием» оказался мой пропуск в школу. Я обратила внимание, что все банковские карточки и дисконтные карты магазинов одинакового размера и формы. Таких же размеров мой пропуск в школу. Это очень удобно, все карточки можно положить в один футляр. Но когда я испробовала на моём пропуске свой циркуль, оказалось, что это не просто прямоугольник, а «золотой прямоугольник»!
«Золотым прямоугольником» оказался и спичечный коробок»!
Куриное яйцо также вписывается в «золотой прямоугольник»!
Упаковки некоторых продуктов, например, представленная на фотографии пачка масла, также представляет собой «золотой прямоугольник».
Исследуя историю вопроса, я поняла, что в Древней Греции золотые пропорции использовались в архитектуре. Интересно, а сейчас при проектировании зданий используют ли архитекторы «золотое сечение»?
Внимательно осмотрев здание нашей школы, я решила «поискать» золотые пропорции в наших окнах.
Я тщательно измерила длину и высоту нашего окна.
Оказалось, что высота нашей оконной рамы 232 см, а ширина 144 см. Разделив 232:144=1,6(1), то есть приближенно наше отношение равно числу ϕ.
IΙΙ Заключение.
Мне очень понравилось работать над темой, посвященной «золотому сечению». В результате работы подтвердилась наша гипотеза о том, что «золотое сечение» действительно гармонично, и человек в окружающем мире постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе «золотые пропорции».
В ходе работы были решены следующие задачи:
1. Ознакомились с историей вопроса.
2. Систематизировали теоретические сведения о золотом сечении.
3. Создали инструмент для определения «золотых пропорций» - циркуль по примеру помпейского.
4. Исследовали присутствие золотого сечения в окружающей жизни, обнаружили, что «золотые пропорции» активно используются в современной жизни: в дизайне упаковок продуктов, в архитектуре и т.д.
Я с удовольствием продолжу изучение этого вопроса в дальнейшем.
ΙV Список литературы:
Волошинов А. В. «Математика и архитектура».- М.: «Просвещение». 2000
Виленкин Н. Я. и д.р. «Математика 6 класс».-М.: «Мнемозина». 2011
В. Лаврус «Золотое сечение».- электронная библиотека. «Наука и техника».
