План

I Вступление

II История вопроса

  1. Три классические задачи геометрии:

А) Задача об удвоении куба

Б) Задача о квадратуре круга

В) Задача о трисекции угла

  1. Решение задачи о трисекции угла древними геометрами;

III Практическое решение задачи о трисекции угла

  1. Как я делал трисектор
  2. Почему трисектор можно использовать
  3. Проверка использования

IV Заключение

V Источники информации

I Вступление.

В этом году мы начали изучать новый учебный предмет – геометрию. Одной из интересных тем была «задачи на построение». В геометрии задачи на построение решаются с помощью двух инструментов – циркуля и линейки без делений. Например, мы легко с помощью циркуля и линейки можем разделить произвольный угол на две равные части, то есть построить биссектрису угла. А вот разделить угол на три равные части с помощью этих инструментов оказалось невозможным. Мы также не можем пользоваться для этих целей транспортиром, так как, как и любой инструмент со шкалой, транспортир будет давать погрешность при построении и построение не будет точным. Таким образом, целью моей работы является создание такого инструмента, который бы позволил нам в школе на уроках и дома в бытовых условиях практически решать задачу на деление угла на три равных части.

Критерии, по которым можно оценить результат работы: инструмент должен давать точное деление угла на три части и быть удобен и прост в использовании.

Свою работу организую по следующему плану:

  1. Сбор информации по неразрешимым задачам древности, в частности, по задаче о трисекции (то есть делении на три части) угла.
  2. Анализ полученной информации и различных способов практического решения задачи о трисекции угла.
  3. Изготовление трисектора – инструмента, позволяющего практически решать задачу о делении угла на три части.
  4. Доказательство результативности созданного инструмента.
  5. Практическое применение трисектора.

 

 

1. Три классические задачи геометрии

Геометрия (от др.-греч. γεωμετρία; γῆ — Земля и μετρέω — «измеряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида.

Евклид Евклид

Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма.

        Существуют три классические задачи в греческой математике, которые оказали значительное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя все они тесно связаны, мы решили рассказать о каждой из них отдельно. Конечно, во времена Древней Греции лучше всего знали задачу об удвоении куба, а позднее стала более известна, особенно среди математиков-любителей, задача о квадратуре круга.

А) Задача об удвоении куба

Задача об удвоении куба основывается на двух легендах. Первая легенда принадлежит Эратосфену (276-194 годы до н.э.), знаменитому греческому математику, астроному и философу.

                                                  ЭратосфенЭратосфен

        Вот что он рассказывал о причинах, побудивших рассматривать задачу об удвоении куба.

        Однажды на острове Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились к знаменитому дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах, за помощью и советом.

        Чтобы прекратить страдания людей, ответил им оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник богу Аполлону, имеющий форму куба.

Жители Делоса поспешили скорей отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один сверх другого, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.

           Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоумевающим вопросам:

-Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?

На это им оракул с огорчением ответил:

-Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы.

           Не в состоянии решить эту задачу так, как требовал оракул, делосцы обратились за помощью к знаменитому математику и

философу Платону. Но он уклончиво ответил им:                            

-Боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

                                                                       Платон Платон

          Однако сам Платон не сумел решить указанной задачи циркулем и линейкой. С того времени эта задача и стала именоваться «делосской».

          Вторая легенда гласит: Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

 

Б) Задача о квадратуре круга

В отличие от задачи об удвоении куба, задача о квадратуре круга не основана на легендах. Она заключается в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н. э. Однако непосредственная постановка задачи   о квадратуре круга встречается в греческих сочинениях V в до н. э. В своём произведении «О изгнании» Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор, находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями о задаче о квадратуре круга. В комедии «Птицы» знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему квадратуры круга. Вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут-

Ну, как на солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!...

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярной в Греции.

В) Задача о трисекции угла

          Третья древнейшая знаменитая геометрическая задача – это задача о трисекции угла. Возникновение задачи о трисекции угла, в отличие от делосской задачи об удвоении куба, не связано ни с какими преданиями и легендами. Задача о делении угла на три равные части, по-видимому, возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей орнаментов, разного рода украшений, многогранных колоннад и так далее, при строительстве, внутренней и внешней отделке храмов, надгробных памятников и других больших и малых сооружений древние инженеры, художники и архитекторы встретились с необходимостью уметь делить окружность на любое конечное число равных частей, а это в некоторых случаях приводило их к рассмотрению трисекции некоторых углов. Делить угол пополам древние греки умели довольно легко. Из точки О они проводили окружность. Затем необходимо было провести окружности с одинаковым радиусом из тех точек в которых окружность пересеклась со сторонами угла. Затем через точки пересечения этих окружностей между собой они проводили прямую ОА, она пройдёт и через вершину угла.

                          построение биссектрисыПостроение биссектрисы угла

Вот так находилась биссектриса. Но разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно.

 

        Перед учеными встала одна из трудных геометрических проблем, которая стала называться «знаменитой задачей о трисекции угла».

        Однако, пользуясь циркулем и линейкой, они смогли выполнить трисекцию углов только для частных случаев. Например, угол 90 градусов (прямой) можно поделить на три равные части с помощью циркуля и линейки, т. к. древние люди уже знали, что прямой угол состоит из 1,5 равностороннего треугольника, следовательно, угол уже разделён на 1\3(ЕСО) и 2\3(АСО), а 2\3 можно было поделить на две равные части, т. к. это они уже умели. 

                                 трисекция прямого углаТрисекция прямого угла

Нерешимость задачи о трисекции произвольного угла циркулем и линейкой доказал Пьер Вацель в 1827 году.

 

 

II Практическое решение задачи о трисекции угла

1.    Как я делал трисектор

          Древние геометры очень долго пытались найти решение задачи о трисекции угла. Решение было найдено очень разными способами. Один из них-трисектор. Изображение этого инструмента мне встретилось в книге Я. Перельмана «Занимательная геометрия». Такой инструмент удовлетворяет моим требованиям. Я стал его делать:

 фанера   разметка фанеры   выпиливание

1.Сначала я взял лист фанеры.                      2.Затем я разметил мой будущий трисектор.  3.Затем пошёл процесс вырезания.

трисектор    готовый трисектор

4.Предпоследний этап работы.                                  5.Финал работы.

2.Почему трисектор можно использовать

       Доказать то, что трисектор действительно делит угол на три равные части можно. Я вам сейчас это продемонстрирую.

условие                            чертеж

доказательство

доказательство

  1. Проверка использования

Сейчас я подробно объясню, как использовать трисектор:

трисекция угла    фото

Возьмём произвольный угол. Затем приложим трисектор так, чтобы вершина угла лежала на прямой, на которой лежит отрезок, являющийся левой стороной длинной части трисектора, одна из сторон угла была касательной к полукругу трисектора, а другая сторона угла проходила через нижнюю левую точку на левом отрезке трисектора.

фото   фото  фото

Затем ставим точки в центре диаметра полуокружности и на стыке длинной части трисектора и короткой. Затем соединяем вершину угла с точками, поставленными нами только что.

                                                        фото Готово!

IV Заключение.

       Итак, цель моей работы достигнута: я изготовил такой инструмент, который бы позволил нам в школе на уроках и дома в бытовых условиях практически решать задачу на деление угла на три равных части; доказал, что его применение дает точные геометрические построения (в отличие от транспортира), показал его применение на практике. Изготовленные мной трисекторы полностью удовлетворяют критериям результативности: инструмент дает точное деление угла на три части и удобен и прост в использовании.

 

Источники информации

  1. Глейзер Г. И., История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982.- 240 с.
  2. Перельман А. И., Занимательная геометрия. – М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1994- 336 с.
  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия
  4. http://hijos.ru/2011/03/23/trisekciya-ugla/
  5. http://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2013/06/14/tri-znamenitye-

 

 

 

 

Комментарии  

-1 #1 Шинтеков Ертай Джану 30.05.2017 22:16
Решение Трисекции угла.

1) Краткое решение.

2) Более подробное решение.

1) Краткое решение.
Никто не удосужился применить для решения Трисекции угла - известный с древних времен - Египетский треугольник.
Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. - малый катет - 3 - большой катет - 4 - гипотенуза - 5
Чертим любой произвольный угол. Произвольно циркулем отмечаем дугу. Чертим Египетский треугольник, малый катет которого, равен длине этой дуги . Тогда большой катет Египетского треугольника, будет иметь значение 133,3333.... % от малого катета. А гипотенуза 166,6666....% от малого катета, то есть стороны этого треугольника подчиняются условию отношению сторон 3:4:5. Циркулем отнимаем с большого катета 133,3333.... малый катет, получаем 33,3333....% или 1/3 длины дуги угла. Отмерим на дуге 2 раза с помощью циркуля расстояние равный 33,3333.... и отметим их точками. Эти 2 точки соединяем с началом угла - таким образом произвольный угол разделен на три абсолютно равные части.
Задача Трисекции угла решена.

В более подробном решении, отпадут вопросы которые возникнут при ознакомлении Краткого решения.
Цитировать

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Участник Общероссийского рейтинга школьных сайтов

Новости

Команда "Апельсинки"
03 июнь 2017 12:30

Поздравляем команду "Апельсинки", ставшую победителем олимпиады [ ... ]

Читать далее
Ломоносовские чтения
12 фев 2017 12:44

11 февраля в нашей гимназии состоялся XII открытый конкурс [ ... ]

Читать далее
Деловая игра
18 дек 2016 19:12

16 декабря 2016 сборные команды наших семи- и восьмиклассников [ ... ]

Читать далее